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Aufgabe 373

Welches ist bei einer Sammellinse der kleinste mögliche Abstand zwischen dem Gegenstand und dessen reellem Bild?
a) Das doppelte der Brennweite der Linse.
b) Das dreifache der Brennweite der Linse.
c) Das vierfache der Brennweite der Linse.

Lösung 373

Diese Aufgabe ist eine typische Extremwertaufgabe. Gesucht ist das Minimum der Strecke x in Abhängigkeit von g oder b.
Bekannt sind:

Durch Einsetzen erhält man dann

Will man das Minimum für x erhalten, muss man die 1. Ableitung dieser Funktion nach b gleich 0 setzten und b berechnen.

Löst man diese Gleichung auf, erhält man 2 Lösungen:

Man kann nun noch mit der 2. Ableitung zeigen, dass für b = 2f wirklich ein Minimum eintritt.
Ist die Bildweite aber 2f, dann muss der Gegenstand auch im Abstand 2f vor der Linse stehen.
Damit ergibt sich für den minimalen Abstand zwischen Bild und Gegenstand die vierfache Brennweite.